Le tre leggi di Keplero

A differenza di Brahe, suo maestro, Keplero (1571 – 1630) fu un accanito e convinto sostenitore del sistema copernicano. Fervente cristiano, si lasciò molto influenzare dalle sue credenze religiose e dal pensiero filosofico contemporaneo.

Non ci fu forse mai un ricercatore scientifico che avesse tante ispirazioni come Keplero e che nello stesso tempo assumesse un atteggiamento così critico verso di esse; la cui immaginazione volasse così in alto e la cui mente restasse nondimeno così fredda; che si lasciasse tanto trasportare dalla propria immaginazione e fosse poi in grado di esaminare con sobrietà e pazienza se i suggerimenti di questa fossero effettivamente sostenibili. Solo questa combinazione di ispirazione ed esattezza rese il Pitagorismo veramente fecondo e mantenne il misticismo matematico al servizio della scienza. Misticismo, matematica, astronomia e fisica sono strettamente, anzi inestricabilmente associate nella sua mente.

La prima ispirazione fu quella di vedere nell’Universo, finito, non solo l’opera di Dio ma la sua stessa Trinità. Il Sole, come centro immobile e fonte di attrazione, corrispondeva al Padre; la sfera delle stelle fisse, anch’essa immobile e che racchiude in sé il mondo e lo preserva, corrispondeva al Figlio; la forza motrice che dal Sole effonde in tutto l’Universo corrispondeva allo Spirito Santo. Ciò gli permise di vedere il Sole non solo come fonte di luce, ma anche come centro dell’Universo e causa prima del suo moto. Così, ispirandosi alla teoria di Gilbert (1544 – 1603) sul magnetismo, attribuì al Sole la capacità di trascinare con sé tutti i pianeti in virtù di forze magnetiche dovute ad una rotazione intorno al proprio asse. Poiché tali forze si esercitavano nel piano dell’orbita, esse avrebbero dovuto diminuire linearmente con la distanza, e ciò era in accordo, nell’ambito della dinamica aristotelica, con la presunta dipendenza della velocità lineare di ciascun pianeta sulla propria orbita dalla sua distanza dal Sole.
La convinzione che l’Universo doveva essere stato creato prendendo a modello la perfetta armonia dei numeri e delle figure geometriche lo portò in un primo tempo a cercare di spiegare il numero dei pianeti (sei con la Terra) e le dimensioni delle loro orbite intorno al Sole mediante la successione delle sfere inscritte e circoscritte ai cinque solidi perfetti della geometria (vedi fig. 13).

Nella prima sfera, quella di Saturno, era inscritto l’esaedro (cubo) la cui sfera inscritta coincideva con quella di Giove. Inscritto in questa sfera si trovava il tetraedro la cui sfera iscritta era quella di Marte. La sfera della Terra era inscritta nel dodecaedro inscritto nella sfera di Marte, e così via per Venere (Icosaedro) e per Mercurio (Ottaedro). Inoltre lo spessore delle sfere doveva essere tale da contenere sia l’eccentricità del deferente sia l’ampiezza dell’epiciclo. Ma, a differenza di Tolomeo, il suo modello non doveva essere solo qualitativo, ma doveva corrispondere alle osservazioni entro i limiti assai precisi dei dati ottenuti da Brahe.

Questa caparbia ricerca della precisione pene usque ad insania (fin quasi ad impazzirne), la fervida immaginazione e il coraggio di abbandonare qualsiasi teoria davanti all’evidenza dei fatti, lo portò ad assumere dapprima che la velocità dei pianeti sull’orbita non fosse costante e successivamente che l’orbita non fosse circolare ma ellittica, con il Sole in uno dei suoi fuochi, distruggendo così definitivamente l’assioma platonico che imponeva ai pianeti solo moti circolari ed uniformi.
Ottenne così (Astronomia nova, 1609) quelle che sono oggi note come le prime due leggi di Keplero.

Prima legge (1608)

1. Tutti i pianeti descrivono un’orbita ellittica, di cui il Sole occupa uno dei fuochi.

La prima legge afferma che:

Keplero propone un modello eliocentrico in cui non vengono più considerate le orbite circolari, le forme perfette, ed è supportato nel farlo dai dati sperimentali ottenuti da Tycho Brahe. Osserviamo che, poiché l’ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la Terra tale piano è detto eclittica. Nella figura a fianco è rappresentata un’orbita ellittica, con indicati i suoi parametri caratteristici: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), semi-distanza focale (c), eccentricità (e).
Tra questi parametri esistono le relazioni seguenti:

L’ellisse in figura ha un’eccentricità di circa 0,5 e potrebbe rappresentare l’orbita di un asteroide. I pianeti hanno in realtà eccentricità molto più piccole: 0,0167 per la Terra, 0,0934 per Marte e 0,2482 per Plutone (pianeta nano).
La distanza dei pianeti dal Sole non è costante, ma varia da un massimo (afelio) ad un minimo (perielio). È possibile considerare la prima legge di Keplero collegata alla conservazione del momento angolare.

Seconda legge (1609) (Legge delle aree)

2. Il moto dei pianeti lungo l’orbita non avviene con velocità costante, ma è costante la velocità areolare, cioè l’area descritta nell’unità di tempo dal raggio vettore Sole-pianeta.

La seconda legge afferma che:

Le conseguenze di questa legge sono:

• La velocità areolare è costante.
• La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l’orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui a fianco sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che all’afelio, l’arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al perielio e minima all’afelio.
• Il momento angolare orbitale del pianeta si conserva (vedi riquadro sotto per la dimostrazione).
• La velocità lungo una determinata orbita è inversamente proporzionale al modulo del raggio vettore. Questa è una conseguenza della conservazione del momento angolare. Se L, dato dal prodotto di m, r e v_t è costante ne discende che v_t è inversamente proporzionale a r (si veda “momento angolare” per la definizione di L, m, r e v_t).
• Sul pianeta viene esercitata una forza centrale, cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il Sole. La seconda legge della dinamica per i sistemi in rotazione èdove M è il momento meccanico applicato. Poiché L si conserva, la sua variazione è nulla e quindi anche M è nullo. Questo può accadere solo se F è parallelo ad r, cioè è diretto come la congiungente con il Sole.

 

La seconda legge di Keplero risulta quindi generalizzabile ad un qualsiasi moto centrale, legando l’accelerazione tangenziale alla velocità areolare. Nella figura qui a fianco OA rappresenta il raggio vettore e AB la traiettoria del pianeta nel tempo Δ t. Se Δ t è sufficientemente piccolo, AB può essere approssimato da un segmento di retta. Sia inoltre θ l’angolo tra il raggio vettore e AB. Nel tempo Δ t viene quindi descritta un’area

La velocità areolare è quindi

essendo

la velocità orbitale istantanea. Poiché è il modulo del momento angolare, risulta . Se è costante, anche L lo è.

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Terza legge (1619)

3. Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell’orbita è lo stesso per tutti i pianeti.

<< Il quadrato dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali ai cubi delle loro distanze medie dal sole>> La terza legge afferma che il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti

Questa legge è valida anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeti e può essere espressa in forma matematica nel modo seguente:

dove è il semiasse maggiore (o equivalentemente il raggio medio) dell’orbita, T il periodo di rivoluzione e K una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo celeste attorno al quale avviene il moto di rivoluzione (ad esempio, se si considera il moto di rivoluzione dei pianeti del sistema solare attorno al Sole e misurando le distanze in U.A. e il tempo in anni solari, K vale 1). Per un’orbita circolare la formula si riduce a

dove r è il raggio dell’orbita.

Si può dimostrare che

con per il caso gravitazionale e massa ridotta.

Nel caso gravitazionale con la terza legge di Keplero può essere scritta nel seguente modo

Nel tentativo di giustificare i rapporti tra i semiassi delle orbite planetarie sulla base di semplici rapporti musicali (richiamandosi quindi all’idea pitagorica dei suoni celesti emessi dagli astri nel loro moto, suoni che l’uomo non avverte in quanto abituato fin da bambino ad ascoltare) trovò la relazione tra i tempi di rivoluzione e la lunghezza dei semiassi maggiori per le orbite di tutti i pianeti, relazione che costituisce la sua terza legge e che fu proprio annunciata alla fine del trattato Harmonices mundi del 1619.

I pianeti più vicini al Sole hanno periodi di rivoluzione più brevi dei pianeti più esterni. L'”anno” di Giove per esempio, che è più distante della Terra dal Sole, dura 11,862 anni, mentre quello di Venere, più vicina di noi al Sole, è di 0,615 anni.

K è una costante che può considerarsi uguale a 1, poiché i numeri, che esprimono rispettivamente il quadrato del tempo periodico e il cubo della distanza media di ogni pianeta dal Sole, sono approssimativamente uguali. In conseguenza di ciò per ogni singolo pianeta deve valere T²=d³.
Questa legge ebbe grande importanza pratica perché permise di dedurre la distanza di un pianeta dal Sole conoscendo il suo periodo di rivoluzione (espresso in anni e frazioni di anno). Marte, ad esempio, impiega 1,88 anni per compiere un giro completo intorno al Sole; ebbene, 1,88 al quadrato dà per risultato 3,534 la cui radice cubica vale 1,52: questo numero esprime la distanza media di Marte dal Sole in unità astronomiche. (L’unità astronomica è la distanza media della Terra dal Sole, una distanza la cui misura reale a quel tempo non si conosceva.) Noto il periodo di rivoluzione degli altri pianeti, facendo un analogo calcolo, si ricavò, per ciascuno di essi, la distanza dal Sole espressa in unità astronomiche.
La legge pone in evidenza il fatto che i pianeti percorrono le loro orbite tanto più lentamente quanto più sono distanti dal Sole e quindi essi impiegano maggior tempo a ritornare al punto di partenza non solo perché devono percorrere strade più lunghe, ma anche perché si muovono più lentamente. Ad esempio Mercurio (il pianeta più vicino al Sole) procede ad una velocità media di 47 km/s, mentre Plutone (il pianeta più lontano da Sole) viaggia a 4,7 km/s quindi è dieci volte più lento di Mercurio.

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Con le prime due leggi vieni quindi a cadere la concezione che il moto dei pianeti debba essere descritto solo mediante moti circolari ed uniformi. Inoltre dalla seconda e terza legge si ricava che il moto di ciascun pianeta è più veloce quando esso si trova più vicino al Sole e per ogni pianeta la velocità media è tanto più grande quanto più il pianeta è vicino al Sole.
Keplero, come abbiamo già detto, cercò di spiegare questo effetto pensando che tutto il moto dell’universo fosse dovuto ad una rapida rotazione del Sole attorno a se stesso che si trascina dietro i vari pianeti, tanto più velocemente, quanto più sono vicini, introducendo così per la prima volta il concetto di forza di attrazione.

Va specificato che le leggi di Keplero sono precise nella misura in cui sono soddisfatte le seguenti ipotesi:

• la massa del pianeta è trascurabile rispetto a quella del Sole;
• si possono trascurare le interazioni tra diversi pianeti (tali interazioni portano a leggere perturbazioni sulla forma delle orbite).

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Giovanni Keplero nacque a Würtenberg il 27 dicembre del 1571, quasi un secolo dopo Copernico. Da ragazzo, per la sua malferma salute, fu avviato alla carriera ecclesiastica e nel seminario dell’Università di Tubinga si appassionò ai problemi astronomici. Si sentì subito attratto dalle teorie copernicane, che difese appassionatamente in pubbliche dispute. Ciò gli precluse la possibilità di continuare gli studi ecclesiastici e lo portò ad accettare, nel 1594, un modesto posto di insegnante di matematica a Graz. Nel 1596 pubblicò Mysterium Cosmographicum, un’opera giovanile nella quale dimostrava che le distenze ineguali tra le sei orbite planetarie potevano essere determinate da cinque poliedri regolari. Quest’opera lo rese famoso e gli procurò l’amicizia di Tycho Brahe, allora matematico della corte imperiale di Praga. Nel 1600 Keplero fu espulso dalla Stiria perché protestante; lasciò Graz stabilendosi a Praga nel gennaio di quell’anno. Tycho gli offrì un posto come suo assistente, incaricandogli di rifare il calcolo dell’orbita di Marte, ma l’unione non doveva essere facile per Keplero dal punto di vista umano poiché, come egli stesso nota, Tycho era un uomo con il quale non si poteva vivere senza esporsi ai più grandi insulti.
Dopo la morte di Tycho (1601) l’imperatore Rodolfo II lo nominò matematico di corte.  Sul suo letto di morte Tycho implorò Keplero di non dimenticare il sistema che egli stesso aveva difeso, secondo cui il Sole gira attorno alla Terra e tutti gli altri pianeti si muovono attorno al Sole. Keplero promise che non lo avrebbe dimenticato e, sebbene fosse consapevole che tale sistema era di poco diverso da quello Copernicano, nei lavori successivi tenne fede a questa promessa.
Senza il prezioso frutto delle osservazioni di Tycho, Keplero molto difficilmente avrebbe potuto determinare la vera natura delle orbite planetarie. Keplero arrivò a maturare l’ipotesi che le orbite  potessero non essere circolari come si era sempre creduto. Enunciò quindi la sua prima legge che descrive la forma ellittica dell’orbita dei pianeti e
poté elaborare la seconda legge che descrive le velocità del pianeta lungo la sua orbita ellittica.
I risultati di questi studi, pubblicati nel 1609 (De motibus stellae Martis) furono poi estesi a tutti gli altri pianeti (Epitome astronomiae copernicanae).
Alla morte dell’imperatore Rodolfo II (1612), Keplero insegnò matematica a Linz fino al 1626. In questo periodo, entusiasmato dalla scoperta del telescopio,  si dedicò allo studio dell’ottica esponendo fra le altre cose, nella sua opera Dioptrica, il processo visivo dell’occhio e il fenomeno della rifrazione nell’atmosfera. Sempre in questo periodo (1618) pubblicò la sua opera preferita: Harmonices mundi, nella quale, oltre ad esporre la sua terza legge, metteva in relazione le leggi armoniche dei suoni con i movimenti dei pianeti.
Nel 1626 fu costretto a lasciare l’Austria a causa delle persecuzioni contro i protestanti. Visse a Ulma, a Sagan e infine a Ratisbona, conducendo una vita difficile, piena di amarezze e di dolori. Nel 1627 pubblicò le Tabulae Rudolphinae, le nuove tavole fondamentali dei pianeti basate sul moto ellittico ed eliocentrico. Quest’opera, iniziata da Keplero sin dai tempi in cui era assistente di Tycho, permise per oltre un secolo di calcolare con la massima esattezza la posizione dei pianeti del sistema solare, confermando definitivamente la validità delle sue tre leggi. Keplero dedicò le Tabulae Rudolphinae alla memoria di Tycho Brahe, per gratitudine al suo “difficile” maestro.
Morì nel 1630 a Ratisbona.

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