Pascal matematico e fisico

Rimasto orfano di madre durante l’infanzia, Blaise Pascal (1623-1662) venne cresciuto dal padre, un matematico che fu tra i primi testimoni delle grandi abilità intellettive del figlio.

Il giovane Blaise si rivelò assai precoce nello studio della Matematica e della Fisica, tanto che fu ammesso alle riunioni scientifiche del circolo intorno a Marin Mersenne, che era in corrispondenza con i più grandi ricercatori del tempo, tra cui Girard Desargues, Galileo Galilei, Pierre de Fermat, René Descartes ed Evangelista Torricelli. Dal 1639 al 1647 fu a Rouen, dove suo padre aveva avuto un incarico da parte del cardinale Richelieu. Qui, nel 1640, Blaise Pascal compose la sua prima opera scientifica “Sulle sezioni coniche” (“Essai pour les coniques”) e nel 1644 costruì la sua prima macchina calcolatrice (soprannominata la Pascalina).

Nel 1650, a causa della sua salute cagionevole, Pascal lasciò temporaneamente lo studio della Matematica. Nel 1653, quando la salute migliorò, scrisse il “Traité du triangle arithmétique” nel quale descrisse il triangolo aritmetico che porta appunto il suo nome.

Il ritorno alla ricerca matematica (mai abbandonata del tutto) fruttò (1653-54) numerosi trattati (Du triangle arithmétique, Des ordres numériques, De la sommation des puissances, Combinaisons) che preannunciarono i moderni calcoli infinitesimali e delle probabilità.

Ma non erano solo triangoli e coniche a interessare il giovane Pascal. Quando il padre, che lavorava come esattore, venne trasferito a Rouen, la quantità di lavoro crebbe, tanto che il figlio si ingegnò per aiutarlo nei conti. Mettendo a punto un calcolatore meccanico, uno dei primi, conosciuto come Pascalina, con il quale si sarebbe guadagnato per sempre un posto nella storia dell’ informatica (tanto che in suo onore un linguaggio di programmazione avrebbe preso il suo nome, il Pascal appunto).

A questa prima fase di studi e invenzioni ne sarebbe seguita una seconda, intervallata però da un periodo di intenso interesse verso la teologia, stimolato dall’incontro con alcuni seguaci del giansenismo, di cui egli stesso sarebbe poi diventato un membro.

Tra la fine degli anni Quaranta e la metà degli anni Cinquanta del XVII secolo Pascal si dedicò nuovamente alla ricerca scientifica. Affrontò  il problema del vuoto con metodo prettamente sperimentale, pubblicando il risultato dei suoi studi dapprima in un Abrégé, e quindi nelle Expériences nouvelles touchant le vide, poi nella Préface pour un traité du vide (1647).

Riprendendo gli esperimenti di Evangelista Torricelli sulla pressione (e anche qui avrebbe lasciato il segno nell’unità di misura della pressione) confermò l’esistenza del vuoto e si interessò allo studio dei fluidi. Da questo sarebbe scaturito il principio per cui applicando una pressione a un fluido confinato in un contenitore, questa si trasmette a tutti i punti del recipiente. Il torchio idraulico, usato per sollevare le macchine, ne è un’applicazione diretta.

Al cosiddetto “periodo scientifico” di Pascal appartengono ancora De la pesanteur de la masse de l’air e De l’équilibre des liqueurs pubblicati postumi nel 1663.

Pare invece che ad aprire le porte alla teoria delle probabilità, in merito alla quale Pascal discusse con Fermat, sia stato il tentativo di rispondere a un quesito nato sui tavoli da gioco d’azzardo.

Gli ultimi anni di vita invece furono soprattutto dominio delle questioni spirituali e filosofiche. Si fanno risalire a questo periodo Le lettere provinciali, scritte in difesa di un giansenista e i Pensieri, un’opera a difesa del Cristianesimo, di cui fa parte la famosa scommessa di Pascal in merito all’esistenza di Dio, che il filosofo giudicava conveniente. Un ragionamento basato su argomentazioni probabilistiche, secondo cui se Dio esiste, chi crede ha molto da guadagnare, e nulla da perdere.

Il teorema di Pascal

Dato un esagono semplice  inscritto in una conica, cioè avente i vertici appartenenti alla conica, i lati opposti di esso si tagliano in tre punti di una stessa retta (retta di Pascal).

Il teorema fu enunciato da Pascal per un comune esagono inscritto in una circonferenza: la generalizzazione fu fatta successivamente nell’ambito della teoria delle coniche. In tale ambito, per esagono semplice si intende una figura costituita da sei punti, o vertici, congiunti da sei segmenti, o lati, nello stesso ordine in cui i vertici sono enunciati. Il teorema è il duale del teorema di Brianchon.

Nel sito Polymath si esamina come si possa utilizzare il teorema di Pascal sulle coniche per costruire una conica passante per 5 punti, come luogo geometrico.

Questo famoso teorema fu scoperto da  Pascal (1623-1662) all’età di 16 anni e pubblicato nell’opera Essay pour le coniques, a Parigi, nel 1640. Ben presto dimenticato, fu riscoperto da Ch. Bossut, che pubblicò nel 1779 un’edizione delle opere di Pascal. Il teorema è noto come Hexagrammum Mysticum e la cosa non deve affatto stupire se si pensa che da questo teorema Pascal derivò tutte le proprietà dimostrate da Apollonio sulle coniche, oltre a molti altri risultati, in totale almeno 400 proposizioni!

L’enunciato del teorema è il seguente:

Considerati sei punti qualunque su una conica, A1,A2,A3,A4,A5,A6, i punti di intersezione delle coppie di lati “opposti” A1A2 e A4A5, A2A3 e A5A6, A3A4 e A6A1, sono allineati.

La retta che contiene questi punti di intersezione si chiama anche retta di Pascal. È opportuno ricordare che la verifica dell’allineamento di tre o più punti ottenuti con diverse costruzioni è molto spesso una cosa di grande importanza in matematica. Un altro esempio di questo si ha nella retta di Eulero per un triangolo, che è la retta che contiene il baricentro, l’ortocentro e il circocentro di un  qualunque triangolo.

L’immagine che segue mostra la situazione nel caso di un’ellisse: la retta di Pascal è la retta per P,Q,R.

Si vuole mostrare come si possa usare il teorema di Pascal per costruire per punti (e quindi come luogo geometrico) l’unica conica passante per cinque punti dati. Che per cinque punti passi una ed una sola conica è una proprietà che pare fosse già nota ad Apollonio. In ogni caso la cosa è, con la geometria analitica, di immediata dimostrazione se si tiene conto che l’equazione cartesiana di una conica è un’equazione di secondo grado in due incognite, cioè un’equazione del tipo

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0:

si tratta dunque di un’equazione in cui compaiono sei parametri, cinque soli dei quali sono indipendenti (in quanto almeno uno dei primi tre deve essere diverso da zero).

La costruzione si basa sulla seguente idea: dati cinque punti A,B,C,D,E, determiniamo un sesto punto, F, della conica passante per i cinque punti dati, e costruiamo la conica facendo variare F.

Lo schema dei passaggi da eseguire è il seguente.

• Consideriamo cinque punti A,B,C,D,E.
• Determiniamo, se esiste, il punto P di intersezione delle rette AB e DE: la retta di Pascal dovrà passare per P.
• Poiché siamo interessati alla costruzione della conica come luogo geometrico, e il luogo sarà ottenuto facendo variare la retta di Pascal, prendiamo una circonferenza di centro P e raggio qualunque, per esempio 1, e su di essa un punto T, che sarà il punto base per la generazione del luogo.
• Costruiamo la retta PT.
• Indichiamo con Q il punto di intersezione di PT con CD: per il teorema di Pascal anche la retta AF (F è il punto da determinare) dovrà passare per Q. Costruiamo allora questa retta AQ che conterrà il punto F.
• Indichiamo con R il punto di intersezione di PT con BC: sempre per il teorema di Pascal anche la retta EF dovrà passare per R. Costruiamo allora questa retta ER che conterrà il punto F.
• A questo punto F è semplicemente l’intersezione tra AQ ed ER.
• Il luogo descritto da F al variare di T è la conica cercata.

La figura qui di seguito mostra la costruzione.

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