I Problemi di Hilbert costituiscono una lista di 23 problemi matematici stilata da David Hilbert e presentati l’8 agosto 1900 nella sua conferenza del Congresso internazionale dei matematici svoltasi a Parigi in quell’anno. Tutti i problemi allora presentati erano ancora irrisolti e molti di essi hanno avuto una notevole portata nella matematica del XX secolo. A questa conferenza in realtà egli presentò 10 di questi problemi (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, e 22) e la lista completa venne pubblicata successivamente.
Ad imitazione dei problemi di Hilbert, per la fine del XX secolo e del secondo millennio, l’Istituto matematico Clay ha istituito altri 7 problemi per il millennio. L’ipotesi di Riemann è l’unico problema presente in entrambe le liste.
Nella formulazione classica dei problemi data da David Hilbert, i problemi 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 e 20 hanno una dimostrazione accettata con universale consenso.
I problemi 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21, 22, hanno una soluzione non accettata da tutti i matematici (come il problema 18 considerato da alcuni risolto e da altri indimostrato fino alla prova della congettura di Keplero) o hanno una soluzione che non tutti ritengono che risolva il problema (per esempio il problema 1).
I problemi 8 (ipotesi di Riemann) e 12 sono irrisolti.
I problemi 4, 6, 16, 23 sono troppo vaghi per avere una soluzione. Anche il “ventiquattresimo problema” poi non presentato da Hilbert cadrebbe in quest’ultima categoria.
Elenco dei 23 problemi
I 23 problemi di Hilbert sono:
Problema
Breve descrizione
Stato attuale del problema
Problema 1
L’ipotesi del continuo, cioè determinare se esistono insiemi la cui cardinalità è compresa tra quella dei numeri interi e quella dei numeri reali.
Risoluzione parzialmente accettata
Problema 2
Si può dimostrare che l’insieme degli assiomi dell’aritmetica è consistente?
Risoluzione parzialmente accettata
Problema 3
Dati due poliedri dello stesso volume, è possibile tagliare entrambi nello stesso insieme di poliedri più piccoli?
Risolto
Problema 4
Costruire tutte le metriche in cui le rette sono geodetiche.
Troppo vago
Problema 5
Tutti i gruppi continui sono automaticamente gruppi differenziali?
Risoluzione parzialmente accettata
Problema 6
Assiomatizzare tutta la fisica.
Troppo vago
Problema 7
Dati a ≠ 0,1 algebrico e b irrazionale, il numero a b è sempre trascendente?
Risolto Parzialmente
Problema 8
Dimostrare l’ipotesi di Riemann.
Aperto
Problema 9
Generalizzare la legge di reciprocità in un qualunque campo numerico algebrico.
Risoluzione parzialmente accettata
Problema 10
Trovare un algoritmo che determini se una data equazione diofantea in n incognite abbia soluzione.
Irresolubile
Problema 11
Classificare le forme quadratiche nel caso di coefficienti in un campo di numeri algebrico.
Risolto
Problema 12
Estendere il Teorema di Kronecker-Weber sulle estensioni abeliane dei numeri razionali a estensioni abeliane di campi numerici arbitrari.
Aperto
Problema 13
Risolvere l’equazione generale di settimo grado utilizzando funzioni con due soli argomenti.
Risolto
Problema 14
Determinare se l’anello degli invarianti di un gruppo algebrico che agisce su un anello di polinomi è sempre finitamente generato.
Risolto
Problema 15
Fondazione rigorosa del calcolo enumerativo di Schubert.
Risoluzione parzialmente accettata
Problema 16
Topologia delle curve e superfici algebriche.
Troppo vago
Problema 17
Determinare se le funzioni razionali non negative possono essere espresse come quozienti di somme di quadrati.
Risolto
Problema 18
Esiste un poliedro non-regolare che può tassellare lo spazio? Qual è il più denso impacchettamento di sfere?
Risoluzione parzialmente accettata
Problema 19
Le soluzioni dei problemi variazionali regolari sono sempre analitiche?
Risolto
Problema 20
Tutti i problemi variazionali con determinate condizioni al contorno hanno soluzione?
Risolto
Problema 21
Dimostrazione dell’esistenza di equazioni differenziali lineari aventi un prescritto gruppo di monodromia.
Risoluzione parzialmente accettata
Problema 22
Uniformizzazione delle relazioni analitiche per mezzo di funzioni automorfe.
Risoluzione parzialmente accettata
Problema 23
Sviluppare ulteriormente il calcolo delle variazioni.
Troppo vago
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Hilbert’s Mathematical Problems
In 1900, DAVID HILBERT outlined 23 mathematical problems to the International Congress of Mathematicians in Paris. His famous address influenced, and still today influence, mathematical research all over the world.
The original address Mathematische Probleme appeared in Göttinger Nachrichten, 1900, and in Archiv der Mathematik und Physik, 1901. The French translation by M. L. Laugel Sur les problèmes futurs des mathématiques appeared in Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, Gauthier-Villars, Paris, 1902.
Mary Winston Newson translated Hilbert’s address into English for Bulletin of the American Mathematical Society, 1902. A reprint of which appeared in Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, edited by Felix E. Browder, American Mathematical Society, 1976. There is also a collection on Hilbert’s Problems, edited by P. S. Alexandrov, 1969, in Russian, which has been translated into German.
Biographical notes on Hilbert are contained in the History of Mathematics Archives, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
Proof of the most general law of reciprocity in any number field.
See class field theory developed by Hilbert, Takagi, Artin, and others; norm rest symbols computed by Shafarevich in 1950, and further developments as in algebraic K-theory.
FILOSOFIA ORIENTALE E COMPARATA - ORIENTE/OCCIDENTE // ORIENTAL AND COMPARATIVE PHILOSOPHY - EAST/WEST 
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